L'anno 2000, ultimo del secolo Ventesimo secondo il calendario degli storici (dal primo AC si passa al primo AD), primo del secolo Ventunesimo secondo gli astronomi (che per semplificare i calcoli hanno introdotto l'anno zero), è stato proclamato dall'Unesco anno mondiale della matematica. In Italia la giornata del 6 aprile è stata scelta da molte università, su iniziativa del gruppo di matematici che pubblica la rivista Pristem, per eventi atti a diffondere presso il grande pubblico un interesse sui temi matematici. A Bergamo, dove chi scrive è direttore del Dipartimento di Matematica della locale Università, il tema è stato Matematica e Musica, con una conferenza di Giorgio Taboga sui rapporti fra Riccati, grande matematico del Settecento, e Luchesi, maestro di Beethoven e, secondo Taboga, autore, nientemeno, di gran parte delle opere attribuite ad Haydn e Mozart. E a conclusione di quest'anno è utile qualche considerazione sugli sviluppi di questa scienza nel Ventesimo secolo e sulle prospettive di sviluppo nel prossimo futuro. La matematica è dai più considerata scienza difficile, astratta, di scarsa utilità. Può apparire difficile a chi non sia abituato al ragionamento rigoroso e generale; può sembrare astratta a chi non considera come la descrizione di molti fenomeni avvenga nel modo migliore utilizzando la matematica; può sembrare di scarsa utilità a chi non si rende conto che molti dei principali sviluppi del mondo moderno, dall'aviazione alle telecomunicazioni, dall'osservazione dell'interno del corpo umano alle previsioni del tempo, siano basati sull'uso di tecniche matematiche, la maggior parte sviluppate in tempi assai recenti. Negli ultimi anni in Italia si è avuto un forte calo dei giovani che si iscrivono ai corsi di laurea in matematica. A Milano Bicocca il numero di matricole nell'anno accademico '98-'99 è stato di una ventina e a Como addirittura di una mezza dozzina! Le cause di tale diminuzione sono complesse, in parte dipendenti dal ruolo dell'Italia ormai marginale nei settori avanzati dell'economia. La matematica resta tuttavia una disciplina viva, ricca di affascinanti problematiche, di estrema utilità per il miglioramento della qualità della vita, e quindi meritoria di maggiore attenzione da parte dei giovani. Ancora studente liceale lessi affascinato il libro Cosa è la matematica di Courant e Robbins. Tale libro, scritto negli anni Quaranta, individuava in David Hilbert il massimo fra i matematici del secolo, opinione probabilmente ora non condivisa dalla maggioranza dei matematici. Il secolo Ventesimo è comunque iniziato per la matematica con la lista dei venti problemi proposti da Hilbert come fondamentali. Alcuni dei problemi sono squisitamente tecnici (di questi uno dei più famosi fu risolto dal leccese De Giorgi; del decimo problema, sulle equazioni diofantine, una nuova soluzione è stata ottenuta per il caso lineare recentemente da chi scrive, generalizzando classici risultati di Eulero, Diofanto, Euclide), altri fondamentali in relazione alla natura del sapere matematico, ovvero, in termini non rigorosi: data una proposizione matematica qualunque, è sempre possibile dimostrare che sia o vera o sbagliata (problema della completezza)? È possibile dimostrare l'invarianza di un risultato dal tipo di dimostrazione utilizzata, ovvero che dimostrazioni diverse portano tutte allo stesso risultato (problema della consistenza)? All'epoca in cui i due problemi furono posti la maggior parte dei matematici ritenevano che la risposta dovesse essere un sì. Con enorme sorpresa la risposta è stata invece negativa, ovvero: in un qualunque sistema matematico costituito da un insieme finito di assiomi e di regole logiche esistono proposizioni che possono essere aggiunte o tolte senza alcun effetto sull'insieme delle proprietà del sistema; non è possibile dimostrare che prove diverse portino sempre allo stesso risultato. Ciò può essere vero, ma è indimostrabile.

I risultati di cui sopra sono dovuti a Goedel, un ebreo austriaco emigrato a Princeton, genio fra i massimi di tutti i tempi (autore anche di una nuova «prova» ontologica dell'esistenza di Dio). La risposta al problema della consistenza mostra che, in definitiva, anche la matematica è un'opinione (che tutti noi crediamo sia una opinione corretta).Non è stato facile trovare un esempio di proposizione di cui non si possa dimostrare né la verità né la falsità. Una tale proposizione, trovata da Goedel e dal suo allevo Cohen, riguarda un altro dei problemi posti da Hilbert, il cosiddetto problema del continuo. Tale problema concerne gli insiemi infiniti. Esistono vari gradi di infinità, misurati dal concetto di cardinalità, per il quale la matematica è debitrice a un grandissimo genio dell'Ottocento, il tedesco Cantor. Ora sappiamo che l'insieme dei numeri interi ha lo stesso grado di infinito del suo sottoinsieme in cui tutte le cifre, in una rappresentazione decimale, siano costituite solo dal numero 3. Ma anche sappiamo che il numero di punti contenuti in un segmento di retta per quanto piccolo ha un grado di infinito superiore a quello della totalità dei numeri interi. La congettura del continuo è la seguente: esiste un insieme infinito con cardinalità intermedia fra quella degli interi e quella dei punti di un segmento? La risposta è che l'esistenza di tale insieme non segue dalle proprietà del sistema matematico usualmente considerato ma nemmeno le contraddice. L'insieme può quindi essere aggiunto come ulteriore assioma... Con i problemi di Hilbert la matematica all'inizio del secolo Ventesimo si caratterizzava come scienza essenzialmente teorica, inevitabile conclusione degli sviluppi del secolo precedente, quasi tutti avvenuti a livello di astrazione (ancora nel Settecento grandi matematici come Eulero pubblicavano lavori con elevato contenuto di calcolo numerico; Eulero morì mentre sorseggiava del tè, dopo avere calcolato mentalmente, era cieco da anni, i parametri dell'orbita del pianeta Urano, da poco scoperto, usando i dati delle osservazioni). Nel corso del secolo la matematica si è aperta nuovamente al calcolo numerico, grazie alla introduzione del calcolatore. Possiamo dire che la matematica sia ora fifty fifty teorica e numerica, le due caratterizzazione avendo strette connessioni. Non è possibile dare una panoramica completa nemmeno dei principali risultati ottenuti nel secolo Ventesimo, la cui mole è tale da non potere essere recepita nella sua interezza da alcuna persona. Dal 1930 a oggi sono stati infatti pubblicati non meno di 1.600.000 articoli matematici. La estrema specializzazione dei vari settori rende quasi impossibile anche a un matematico di comprendere la maggior parte dei lavori fatti dai colleghi operanti in altri settori! Ci limitiamo quindi a una breve rassegna prima di alcune delle grandi personalità attive nel secolo Ventesimo, poi di alcuni importanti risultati, e infine concludiamo con alcune riflessioni sui recenti sviluppi dei computer per calcolo scientifico. A parte i già citati Hilbert e Goedel, fra i grandi matematici del Novecento possiamo ricordare l'indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920), autodidatta di povere origini che scriveva le sue formule su carta usata per avvolgere merci, morto per tubercolosi pochi anni dopo essere stato invitato a Cambridge. L'opera immensa di Ramanujan non è stata ancora pienamente assimilata. Trascende la comprensione di chiunque come con estrema facilità Ramanujan potesse scrivere complesse formule che alla sua mente si ponevano come ovvie. Si guardi alla seguente meravigliosa formula che esprime il numero irrazionale e trascendente π

π = (9801/√8) ∑((n!396 n)4)/((4n!)(1103 + 26390n))

E, ancora, l'ungherese Paul Erdos, che ha collaborato con centinaia di matematici scrivendo circa 3000 lavori (la maggior parte dei matematici non ne produce più di una cinquantina), in particolare nel campo della teoria dei numeri. A lui è dovuta la prima dimostrazione elementare che il numero p(n) di numeri primi di valore inferiore a n è asintoticamente approssimabile con log(n).

Anche l'ungherese John Von Neumann, è stato autore di straordinari risultati oltre che nella matematica (introdusse fra l'altro la teoria dei giochi), anche nella fisica quantistica, progettatore dell'architettura concettuale su cui tuttora si basano i calcolatori, organizzatore con Fermi della costruzione della bomba atomica (e corresponsabile con Fermi dei calcoli approssimati che quasi assicurarono che l'esplosione della prima atomica sperimentale non avrebbe anche portato all'esplosione dell'intero pianeta). Von Neumann, amico di Einsten e di Koestler, possedeva una straordinaria memoria e capacità di analisi, in merito alla quale ricordo un episodio. A una conferenza all'Eth di Zurigo il matematico Polya accennò a un problema irrisolto; dopo qualche minuto uno studente alzò la mano, venne alla lavagna e ne scrisse la dimostrazione; era Von Neumann.

Quanto ai risultati, tra i più importanti del Ventesimo secolo ricordiamo:
il cosiddetto ultimo teorema di Fermat è stato risolto nel 1995 dall'inglese Wiles, che lavora a Princeton, utilizzando un fondamentale risultato del tedesco Frey, il quale nel 1984 aveva dimostrato che tale teorema seguiva dalla congettura di Shimura-Taniyama, relativa a esoteriche relazioni fra certe entità matematiche. Il contributo di Wiles, frutto di sette anni di intenso lavoro e contenuto in un articolo di circa 150 pagine, è consistito nella dimostrazione della congettura di Shimura-Taniyama. Resta aperta la possibilità che Fermat avesse ottenuto una diversa prova elementare, ancora da ritrovare;

il cosiddetto problema dei quattro colori, associato alla possibilità di colorare una carta geografica politica con un numero arbitrario di stati usando solo quattro colori in modo che non ci siano due stati con lo stesso colore su un tratto non puntiforme di confine. La risoluzione è stata ottenuta mostrando che la validità del teorema dipendeva dal verificare un numero finito di casi speciali, il che è stato poi fatto utilizzando un programma per calcolatore, primo importante esempio di utilizzo del calcolatore in una dimostrazione matematica:
l'analisi dei fenomeni della dinamica nonlineare, in cui sono emersi comportamenti estremamente complessi e inattesi, con applicazioni ai fenomeni astronomici (il sistema solare è ora noto non essere stabile, anche in assenza di perturbazioni) e ai fenomeni di emergenza della vita, nonché a fenomeni relativi alla tecnologia (vibrazioni di strutture, fenomeni dei fluidi... ) e alla economia (un nuovo crack tipo '29 potrebbe conseguire da certe politiche finanziarie... );

lo sviluppo degli algoritmi di calcolo numerico, da utilizzarsi sotto forma di codice per calcolatori, e lo studio delle loro proprietà, che ha aperto anche nuove discipline come quella della complessità dei processi numerici. Si possono individuare tre fondamentali aree per il calcolo numerico, ovvero quella dei fenomeni discreti (associata alla teoria dei grafi e dei numeri primi), quella dei fenomeni dinamici (associata alle equazioni differenziali), quella dei problemi di ottimizzazione (continua e discreta, locale e globale, deterministica e stocastica...).

Concludiamo con un accenno ai calcolatori, strumento ormai essenziale per le applicazioni matematiche, dove soluzioni analitiche o in forma chiusa non sono in generale ottenibili salvo in casi molto speciali, e, come si è visto in relazione al problema dei quattro colori, strumento importante anche per studi di tipo teorico.Chi scrive ha lavorato per sette anni a partire dal 1969 presso il centro calcolo del Cise, centro di ricerche nucleari e di tecnologia, ora, come molti altri centri di ricerca italiani, non più esistente. Il Cise aveva allora un elaboratore Ibm 1800 con una ram di 32 kb ed una velocità di clock di circa 100 khz. I computer ora in vendita nei supermercati al costo di un paio di notti in un albergo di Venezia hanno ram standard di 128 mb e velocità di clock superiore a 500 mhz. Il 17 dicembre 1997 nei Laboratori Intel di Beaverton è stato per la prima volta realizzato un computer che ha superato la barriera del teraflops, effettuando 1.060.000.000.000 operazioni al secondo. A tali numeri si perviene mediante vari approcci tecnologici, fra cui l'effettuazione di operazioni in parallelo (il risultato di cui sopra è stato ottenuto utilizzando 7264 processori Pentium Pro in parallelo, ciascuno operante a 200 mhz). L'architettura in parallelo presenta sofisticati problemi di progettazione, associati a problematiche di ottimizzazione discreta. Nel corso del prossimo decennio si supereranno certamente i 1000 teraflops. Con tale performance si avranno playstation di altissima qualità ma saranno ancora assai limitati i vantaggi nello studio di problemi fisici quali le previsioni del tempo a medio termine, la dinamica di grandi sistemi a n-corpi, gli effetti dell'inquinamento a lungo termine. Infatti per tali problemi la complessità dei calcoli necessari per una accurata descrizione del modello porta a tali numeri di operazioni da trascendere ogni possibilità di calcolo con i presenti tipi di computer, dove l'unità di memoria non può essere più piccola di un atomo e dove i segnali si propagano con velocità massima pari a quella della luce. Per risolvere tali problemi dovremo attendere lo sviluppo di nuovi tipi di memorie e l'utilizzo di processi fisici che si propaghino con velocità superluminali, di cui molti fisici stanno da tempo occupandosi (Van Flandern, partendo da idee di Eulero e Le Sage sulla natura della gravitazione, ha sviluppato elementi della teoria del campo di c-gravitoni, che si propagherebbero con velocità superiore a quella della luce almeno di un fattore pari a 100 milioni; e l'italiano Recami, mio collega a Bergamo, da anni ha sviluppato la teoria dei tachioni, particelle a velocità superluminale, la cui esistenza segue secondo Recami da una corretta interpretazione delle teorie di Einsten).

Emilio Spedicato