Fare una breve panoramica della storia della matematica è compito non facile. A parte il fatto che non insegno storia della matematica, di cui ho una conoscenza parziale, tenete conto che esistono non meno di 2 milioni di documenti fra libri e articoli sulla matematica. È in corso un progetto dell’Unesco per metterli tutti su rete. Soltanto a partire dal 1930 ci sono circa un milione e 600 articoli nelle varie lingue mondiali, che dovrebbero essere messi a disposizione in inglese acquisendo anche i diritti di copyright, questione di non lieve complessità. Le origini della matematica sono antichissime e collocabili in relazione a problemi di calendario. Esistono calendari estremamente antichi. Due calendari partono attorno al 3.100 a.C., ovvero il Kaliyuga indiano e il calendario Maja, uno parte dal 3.102 a.C., l’altro dal 3.112 a.C.. Si può arguire in base a varie considerazioni che questi calendari nascono successivamente all’evento catastrofico che la Bibbia presenta come il diluvio di Noè, che i testi Sumeri presentano come il diluvio di Ziusudra-Utnapishtim e che i testi Ariani presentano come il diluvio dove sopravvive Manu (secondo l’Avesta, Manu sopravvive dentro caverne di un monte; gli altri due sarebbero invece sopravvissuti nelle arche). Precedenti a questo evento catastrofico, collocabile attorno al 3.200 a.C., abbiamo altri due calendari più antichi. Uno è il calendario cosiddetto ebraico che parte nel 3.761 a.C. Esso viene acquisito dagli ebrei nel II secolo d.C. da una tradizione non giudea, dopo la grande sconfitta da parte di Adriano nell’ultima ribellione guidata da Bar Kochba, il figlio della Stella, e che portò alla totale espulsione degli ebrei dalla Palestina (salvo i samaritani, che a rigore non sono ebrei). Il secondo è il calendario etiopico che parte nel 5.500 a.C. Esiste tutta una serie di monumenti archeologici che hanno una correlazione astronomica ben precisa in relazione con i punti cardinali, come il punto di equinozio o il punto di solstizio. Il geologo inglese O’Brien nel libro A megalitic odissey ha analizzato centinaia di monumenti in Europa, in Asia e in America giungendo alla conclusione che sono tutti basati su multipli interi di alcune unità di misura, determinate con una estrema precisione, il che fa inevitabilmente pensare a un processo di diffusione e di controllo di queste costruzioni da parte di un gruppo organizzato. Queste unità di misura sono costruite in modo geometricamente molto semplice a partire da una base il cui nome è remen in egiziano (ma sulle vocali non c’è mai certezza nell’antica lingua egizia) e che vale circa 35 cm di lunghezza. Si costruisca un quadrato il cui lato è il remen; allora la diagonale, che si ottiene moltiplicando la lunghezza del lato per la radice di 2, 1,41, definisce il cubito reale (quello che la Bibbia utilizza nel dare le dimensioni dell’Arca di Noè). Presi ora due quadrati di queste dimensioni, si accostino in modo da formare un rettangolo. La diagonale di questo rettangolo si ottiene moltiplicando il lato di un remen per la radice di 5 e definisce la iarda megalitica. Quindi abbiamo in queste epoche che risalgono sicuramente al Terzo e forse al Quarto o al Quinto millennio a.C. una conoscenza basata sull’estrazione di un’informazione geometrica di un certo interesse. Si noti inoltre che associando al remen il valore 1 e facendo media con il valore della yarda misurato nella base remen si ottiene esattamente il valore della sezione aurea, numero che entra in gioco in tutta una serie di processi naturali e di costruzioni architettoniche dell’antichità e a cui è stato attribuito un valore quasi sacro.
Passiamo ora alla matematica antica di cui ci resta una documentazione scritta. Al primo posto sta forse l’India, dove si sono conservati migliaia di testi in sanscrito e specialmente in tamil, lingua dell’India meridionale. La maggior parte di questi testi non è disponibile in lingua occidentale e molti esistono in singolo manoscritto presso le biblioteche dei templi, si veda ad esempio l’elenco parziale dato da Alain Daniélou nel suo libro sugli dei e la mitologia indiana. Sono testi di carattere non solo religioso ma anche matematico o astronomico. Il più noto è il Surya Siddhanta, la cui traduzione è basata su ipotesi, perché il libro appare descrivere uno scenario astronomico che non si accorda con quello di oggi. In Cina sicuramente c’è stata una matematica molto avanzata, che ha influenzato anche i greci, ma quasi tutti i testi furono distrutti, verso il 200 a.C., per ordine dell’imperatore Chin Shi Huang, il costruttore della Grande Muraglia. Solo pochi testi sono sopravvissuti, riscritti dopo la morte dell’imperatore da chi li aveva memorizzati. Le radici cinesi e indiane sono comunque fondamentali per la matematica greca fra i cui grandi nomi ricordiamo Euclide, Pitagora, Archimede e Diofanto. Di Archimede è sopravvissuta una piccola parte dei suoi enormi contributi. Recentemente è stato scoperto un suo testo in un palinsesto da cui si è visto che Archimede aveva ottenuto risultati di analisi avanzata; pare che, essenzialmente, fosse pervenuto a quello che è il cosiddetto teorema fondamentale della analisi, associato al nome di Newton, teorema che ci dice che l’area sotto una curva è data dalla differenza delle funzioni integrali nei due punti estremi. Questo teorema fu ottenuto dal giovane Newton, che lo scrisse in latino e lo pubblicò sotto forma di anagramma, che nessuno fu in grado di decifrare. Soltanto quando circolò l’informazione che Leibniz aveva raggiunto lo stesso risultato, Newton diede la chiave di lettura dell’anagramma. Diofanto è l’altro grande matematico della tradizione greca, autore fra l’altro di libri di teoria dei numeri sulle cosiddette equazioni diofantee. Ricordiamo che secondo Gauss, il principe dei matematici, la matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica. Cito Diofanto perché sino a trent’anni fa erano pervenuti solo alcuni dei suoi libri di teoria dei numeri. Nel 1971 in uno dei luoghi più improbabili che si possano pensare, la biblioteca della Moschea di Mashad in Iran, sono stati trovati sei libri suoi tradotti in arabo circa mille anni prima. Di questi, due erano noti nel testo greco e la loro traduzione in arabo è perfetta. Quindi abbiamo acquisito altri quattro libri. Inoltre pare che ci sia in questa biblioteca anche il commento a Diofanto di Ippazia, la grandissima matematica, il top delle donne intellettuali dell’antichità, che come noto fu assalita da un gruppo di monaci che la odiavano in quanto attiva nelle lettere e nelle scienze e la uccisero in modo atroce, scarnificandola viva con dei gusci di conchiglie.
Passando adesso al Medioevo, ricordiamo Fibonacci che portò in Occidente i numeri arabi e il concetto dello zero. All’epoca in cui viveva Fibonacci esisteva al Cairo una biblioteca con due milioni di volumi, molti più di quanti ne avesse avuto mai la biblioteca di Alessandria che partì con 54 mila volumi e arrivò a 700 mila. Probabilmente in epoca antica la più grande biblioteca non era nemmeno quella di Alessandria ma la biblioteca privata del Palazzo Reale di Edessa (fu visitata da Mosè di Corene quando preparò la sua storia degli Armeni). Alla fine del 400 Isabella la Cattolica caccia gli arabi dalla Spagna e Bernardino di Sahagun scrive a proposito della conquista di Cordoba che le acque del fiume Guadalquivir divennero rosse per il sangue dei mori e nere per l’inchiostro della biblioteca. Furono buttati nel fiume i 400 mila volumi che si trovavano nella biblioteca di Cordoba, in un’epoca in cui il Vaticano aveva 998 volumi e il palazzo del re d’Inghilterra ne aveva 12 di cui sei prestati da un convento di monaci. Questo significa che non è corretto pensare alla matematica come a un prodotto occidentale. Nel 1200 ad esempio i cinesi avevano introdotto il concetto di vettori e matrici, da noi riscoperti a fine Ottocento, e nel Nono secolo avevano sviluppato il metodo di eliminazione per risolvere i sistemi lineari che noi attribuiamo a Gauss (prima metà dell’Ottocento). D’altronde i cinesi nel Quattrocento erano in grado di calcolare, tenendo conto delle eclissi di luna, la longitudine con estrema precisione. Riguardo all’Italia, ricordiamo che i tre quarti dei manoscritti europei si trovano nel nostro Paese, dei quali meno del 20% è stato classificato. Molti si trovano in biblioteche provinciali, di monasteri, private. Presso la biblioteca Angelo Mai di Bergamo è giaciuta non tradotta fino agli anni Cinquanta-Sessanta l’opera di Michele Alberto Carrara, amico di Leonardo da Vinci. Quest’opera è stata tradotta poi in quattro volumi dal professor Giraldi, tuttora - a novant’anni - assai attivo. Secondo Giraldi, Michele Alberto Carrara è il massimo rappresentante dell’umanesimo italiano e ha fortemente influenzato Leonardo da Vinci. Ebbene, alla traduzione del Carrara mancano 37 pagine del manoscritto De Maximo et Minimo, in cui è analizzato il problema dei massimi e dei minimi delle funzioni, che viene poi ripreso dalla matematica classica due o trecento anni dopo.
Occorre citare brevemente il grande Newton che ha dedicato alla matematica e alla fisica solo una piccola parte dei suoi circa settant’anni di attività, derivando le basi del calcolo infinitesimale e le leggi della meccanica e dell’ottica. I suoi interessi principali hanno riguardato infatti le profezie e la cronologia dei popoli antichi, su cui scrisse un libro da lui considerato il suo capolavoro (libro la cui lettura è stata definita dal suo biografo Westfall come la peggiore penitenza che si possa imporre a un essere umano…). Abbiamo poi, qualche tempo dopo Newton, lo straordinario matematico Eulero, divenuto cieco per aver osservato il sole con un telescopio, il quale da solo è autore di circa metà dell’intera produzione matematica del Settecento. La pubblicazione della sua opera completa non è stata ancora terminata, essendosi scoperti non molti anni fa vari bauli pieni di suoi manoscritti nelle cantine dell’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo dove aveva lavorato. Sua è ad esempio una bellissima formula che collega la potenza i-esima della unità immaginaria i all’inverso della base e dei logaritmi elevata alla radice quadra di pi greco. Eulero morì in un modo meraviglioso per un matematico: comunicatogli i dati relativi all’orbita del pianeta Nettuno recentemente scoperto, ne calcolò l’orbita a mente, si fece portare del thè, lo sorbì, accarezzò la nipotina e morì di ictus. La cecità non aveva creato problemi alla produzione scientifica di Eulero, assai importante anche nel campo della fisica; del resto, la maggiore capacità di concentrazione e di memorizzazione dei ciechi spiega anche perché spesso gli antichi cantori lo fossero, venendo accecati da bambini per meglio sviluppare le loro capacità mnemoniche. L’Ottocento è l’epoca in cui Cauchy introduce il criterio del rigore assoluto nella matematica. Cauchy ha però il demerito di trascurare la lettura dei lavori che riceveva da Gaulois, il giovane genio che muore poco più che ventenne in un duello per difendere l’onore di una donna di facili costumi. Di Gaulois ci resta un manoscritto di difficile lettura, scritto in tutta fretta la notte prima del duello, contenente una serie di risultati fondamentali per la matematica di oggi, nonché la dimostrazione che non è possibile risolvere in forma chiusa un’equazione polinomiale di grado superiore al quarto. Citiamo poi Cantor, il genio che riesce per la prima volta a trattare in modo rigoroso l’infinito, classificandone mediante i gradi di cardinalità i diversi tipi, e Hilbert che propone, all’inizio del Novecento, 23 problemi che ritiene fondamentali per la sistemazione della matematica. Fra questi un problema, risolto negativamente da Goedel, mette in crisi la matematica perché ne mostra i limiti di ragionamento. Si tratta del problema della completezza e della consistenza. Viene dimostrato che ci sono sempre delle proposizioni vere o false che non sono però dimostrabili come tali a meno di aggiungere ulteriori postulati. Segue inoltre che è impossibile dimostrare la consistenza della matematica, ovvero che dimostrazioni diverse portino necessariamente allo stesso risultato. I matematici credono invero che la matematica sia consistente, ma una dimostrazione formale non è possibile. Dell’inizio del Novecento citiamo anche il genio di Ramanujan, il matematico indiano che, privo di formazione accademica tradizionale, aveva studiato la matematica da solo, risolvendo i problemi aperti in un classico libro dell’analista Hardy e mandandoli all’autore. Hardy lo invitò in Inghilterra, dove Ramanujan morì presto di tubercolosi, lasciando una vasta quantità di risultati straordinari, ottenuti a volte in modo quasi inspiegabile, e di notevole importanza per i moderni studi sulle particelle elementari.
Nel Novecento abbiamo da una parte sviluppi importanti della matematica in aree che prima non erano state considerate, in particolare nel settore della matematica non lineare, con lo studio di complesse proprietà dei sistemi dinamici, comprese le cosiddette proprietà del caos, e dall’altra abbiamo lo sviluppo impetuoso di algoritmi numerici per le applicazioni che si riescono a fare su problemi complessi, grazie alla disponibilità dei calcolatori. Per l’esistenza dei calcolatori dobbiamo in gran parte ringraziare quel matematico, fisico e persona straordinaria che fu John von Neumann, che io considero il più grande scienziato del Ventesimo secolo. I calcolatori sono basati sul modello da lui definito. Von Neumann aveva una capacità di concentrazione straordinaria ed era generoso nel suggerire idee. Fu lui a suggerire al giovane Danzig (ora ancora attivo a novant’anni) come la programmazione lineare potesse risolversi con il metodo del simplesso, su cui sono basate tantissime applicazioni di carattere finanziario, economico e industriale. Esistono una serie di aree dove lo studio non può andare avanti senza l’uso della matematica a un livello estremamente sofisticato. Per «sofisticato» s’intende che i problemi sono difficili perché richiedono dati precisi e hanno un numero di variabili molto alto (milioni ma anche miliardi o trilioni. Se si volesse poi fare un modello della dinamica dell’intero universo, dovremmo trattare con qualcosa come un milione di miliardi di miliardi di oggetti, soltanto limitandoci alle stelle e soltanto nell’ipotesi attuale che l’universo contenga 100 miliardi di galassie). Tipici problemi difficili sono i problemi di evoluzione di sistemi dinamici di grandi dimensioni. Recentemente l’uso di un algoritmo più raffinato ha sconvolto risultati dell’astrofisica: fino a due anni fa si riteneva che la formazione dei pianeti gassosi richiedesse almeno 10 milioni di anni partendo dalla condensazione di una nube gassosa; rifacendo i conti a Oxford con un modello più raffinato e usando soprattutto una matematica più precisa, si è scoperto che la nube si disperde a meno che il pianeta riesca a condensarsi in 100 anni circa. Un altro problema astronomico che recentemente, a livello di simulazione, ha dato dei risultati inattesi, è l’origine per cattura della luna. Pensando alla luna come a un corpo di origine esterna che passi vicino alla terra ed entri nella cosiddetta sfera di Hill dove domina la gravitazione terrestre su quella solare, possono succedere tre cose: si schianta sulla terra, esce da una porta nella sfera di Hill oppure viene catturata. Ebbene si è scoperto che la probabilità di cattura è molto elevata e che l’orbita della luna diventa circolare mediamente dopo 100 rivoluzioni attorno alla terra, il che significa nel giro di una decina di anni. Questo è molto interessante perché facilita una possibile interpretazione del dato mitologico in numerose culture, secondo cui in un tempo a memoria d’uomo la luna non c’era (eventi spiegabili appunto con una cattura della luna). Importanti per la matematica sono le applicazioni biomediche, già in corso o in fase di sviluppo. Ogni volta che si fa una tac o una risonanza magnetica il computer risolve un problema matematico inverso misurando certi dati e risalendo alla sorgente nel corpo umano che ha provocato i fenomeni misurati. Clarbruno Vedruccio, laurea e dottorato in fisica e ingegneria presi in America, già direttore della missione Cnr per il buco dell’ozono nell’Artico, ha inventato un maser a stato ibrido utilizzabile per individuare mine inesplose nei campi minati, che fanno ogni anno tante migliaia di vittime (vedi liberal 17, n.d.r.). Mentre faceva la sperimentazione si è accorto che il fascio emesso dal maser quando attraversava la sua gamba veniva modificato in modo particolare, il che gli ha suggerito di studiare a fondo l’interazione delle radiazioni (radiofrequenze) emesse con i tessuti umani. Bene, la sperimentazione che è stata fatta su migliaia di casi presso l’ospedale militare di Taranto e vari ospedali di Milano, ha fatto vedere che ci sono delle frequenze che sono assorbite in modo nettamente diverso dai tessuti sani, dai tessuti infiammati e dai tessuti con cellule cancerose. Risulta inoltre possibile rivelare la presenza di cellule cancerose ancora a auno stadio iniziale, con una sicurezza anche superiore a quella di una biopsia o di una risonanza magnetica. Il processo di interazione è descritto dall’equazione di Vanderpol. È stato da lui studiato teoricamente con il noto matematico belga Messiaen, ma l’articolo inviato alla rivista Nature, dopo tre giorni è stato restituito dal direttore con la giustificazione: «Non sappiamo a chi possa interessare questo risultato». Qui ancora una volta riscontriamo come l’acquisizione di nuovi risultati che sconvolgono un settore stabilito possa scontrarsi con forti resistenze.