Riflettendo sul fatto che il numero di studenti interessati a studiare la matematica è attualmente in declino, mi sono chiesto perché la matematica non è più «di moda». Perché si crede che sia difficile, astratta, inutile, irrilevante. Moltissime persone si vantano di non aver capito niente della matematica a scuola sostenendo che li lasciava indifferenti: è stantia e rimane sempre uguale a se stessa. Ciò significa che la matematica contiene delle verità eterne. Se si legge un algoritmo, non cambia di una virgola nel corso di duemila anni e ciò rende la matematica noiosa. Tempo fa, all’Università di Zurigo dove insegno, abbiamo avuto la visita di Nicholas Negroponte del Medialab della Mit di Boston. Negroponte ha tenuto un’eccellente conferenza dimostrando che oggi l’insegnamento della matematica è inadeguato perché i docenti continuano a insegnarla come hanno sempre fatto. Per spiegarlo ha fatto ricorso al seguente esempio: se si prende un medico del 1880 e lo si trasferisce in una sala operatoria moderna, si troverà completamente spaesato poiché da allora è cambiato tutto. Invece, per quanto riguarda l’insegnamento della matematica, si continuano a usare gli stessi esempi artificiali di cento anni fa. Se il calcolo non produce un numero non intero, lo studente si accorge subito di aver sbagliato. Questo forse rende la matematica una materia noiosa. In effetti, Albert Einstein disse: «Non ho voglia di imparare qualcosa che non mi piace». In breve, la matematica è vista come una materia difficile e dura ed è di fatto elencata tra le materie più difficili sulla pagina Web dedicata alle informazioni scientifiche, insieme all’astronomia, alla biologia, alla chimica, alla geografia, alla geologia e alla fisica. Ma che cosa significa difficile? Vi sono altre materie difficili che non vengono incluse in questo elenco. Credo che «difficile» si riferisca a una materia che richiede un considerevole impegno intellettuale per essere appresa e capita. Una caratteristica propria della matematica è che deve essere appresa in modo lineare e non navigando per un ipertesto. Inoltre, la matematica è come un pasto completo, con una varietà di portate che vanno dagli antipasti al dolce: non è certo come andare a un buffet e scegliersi un po’ di questo e un po’ di quello. Non funziona così. Questo rende difficile tradurla in moduli proprio quando l’insegnamento per moduli è molto di moda. E non dimentichiamo le parole di Bertrand Russel: «La gente preferirebbe morire piuttosto che pensare, ed è quello che fanno». Questo ci dice che la difficoltà non è mai piaciuta.
Già da tempo si è capito che le dimostrazioni non sono necessarie. Cauchy, le cui parole sono state trascritte nel verbale del Consiglio per l’Istruzione della école Polytechnique di Parigi, s’impegnò «per conformarsi ai desideri del Consiglio» a non dare più «come ha fatto fino a ora, delle dimostrazioni perfettamente rigorose». Anche lui doveva far fronte al fatto che agli studenti non piacessero delle verità pure e dure. Il problema dunque non è solo attuale ma, anzi, è assai antico. Quali conseguenze possono derivare dall’evitare materie difficili? Christoph von Arb era un collaboratore dell’Ambasciata svizzera a Washington e scrisse una straordinaria relazione una decina di anni fa nella quale sosteneva: «Un americano su quattro non è in grado di studiare un menù, un orario o di capire le istruzioni sul foglietto illustrativo di una medicina. Il 25% dei diplomati americani non ha studiato né chimica, né fisica, né biologia. Solo il 16% dice di aver frequentato corsi in tutte e tre le materie. Conformemente a questi dati, solo il 4,5% risponde correttamente a domande scientifiche come: “Un antibiotico è efficace sui virus o sui batteri?”, o “gli elettroni sono più piccoli degli atomi?”, o ancora “la terra compie un’orbita intorno al sole una volta all’anno?”. Solo una persona su tre, dotata di un master o di un dottorato, seppe dare la risposta giusta». Normalmente quanto avviene in America, dopo dieci anni accade anche qui in Europa. Ed è proprio ciò che è successo con la matematica: dieci anni dopo, ci ritroviamo nella stessa situazione degli Stati Uniti. Uno studio dell’Università di Pisa ha individuato serie carenze nel nostro sistema educativo. Questo studio definisce il concetto di alfabetizzazione matematica in modo alquanto ambizioso perché prevede molto più della semplice conoscenza delle regole, dei teoremi matematici e della padronanza delle procedure matematiche. Secondo William Butler Yeats, vincitore del Premio Nobel nel 1923, «l’insegnamento non ha niente a che fare col riempire un secchio [cioè riempire il cervello degli alunni con quante più nozioni possibile]; ha piuttosto a che fare con l’accendere un fuoco», destando così l’interesse a studiare qualcosa. Credo che sia un’affermazione magnifica. Per cui, l’alfabetizzazione matematica dovrebbe mettere in pratica le conoscenze e le capacità matematiche e trovare il modo di applicarle. Bisognerebbe capire il ruolo della matematica nel mondo e trasporre problemi quotidiani in contesti matematici, sfruttare le nostre conoscenze matematiche al fine di dare giudizi matematicamente fondati. Questo ci dice lo studio dell’Università di Pisa. Ed è davvero ambizioso perché, leggendolo, si capisce che incoraggia ad applicare la matematica nella pratica. Questo dimostra che la matematica non è irrilevante e, di fatto, noi lo sappiamo già. C’è un bellissimo articolo apparso su Cacm intitolato «Perché le università richiedono che gli studenti di informatica studino la matematica». Le ragioni sono molte ma, se si legge Peter Henderson, egli ci dice «che i dati a sostegno dell’importanza della matematica nelle pratiche informatiche sono scarsi», il che ci fa supporre che non hanno bisogno della matematica, ci porta ad asserire che i softwaristi non hanno bisogno di imparare o di usare la matematica e questo ci conduce alla fine a un’apparente contradizione: i softwaristi non usano la matematica in modo esplicito ma hanno comunque bisogno di pensare in modo logico e preciso. È vero che sono molti gli ingegneri che non usano il calcolo quotidianamente seppure utilizzano in modo implicito la logica matematica continuamente. Allora, si può davvero sostenere che la matematica sia inutile? Come dicevo prima, molte persone si vantano di avere fatto tutti i loro studi senza mai prendere una sufficienza in matematica. Spesso, andare male in matematica è visto come una cosa «da furbi» o addirittura auspicabile per le donne. Ci si rincontra con i vecchi compagni di scuola che ti dicono: «Ah, certo, tu sei il matematico! Io sono sempre stato un disastro». Si è mai sentito qualcuno vantarsi di essere stato un disastro in ortografia? Probabilmente la gente lo guarderebbe con un po’ di stupore. Se scrivo qualcosa sulla lavagna i miei alunni di informatica mi chiedono sempre: «ma a che serve?». Oggi tutto deve servire a qualcosa e si pone un’enfasi eccessiva sul ritorno a breve termine degli investimenti, e non soltanto in ambito bancario ma in tutti i campi, incluso nell’istruzione e nell’insegnamento accademico, tanto che corriamo il rischio che una ricerca fondamentale «senza un’immediata utilità» venga seriamente trascurata.
La matematica è astratta e in un articolo pubblicato su Cacm, Keith Devlin scrive: «L’informatica è interamente fondata sull’astrazione. Che cosa facciamo in informatica? Facciamo un’astrazione del mondo reale e creiamo piccole macchine che creano piccole macchine astratte ed è tutta un’astrazione. Inoltre, un requisito importante per scrivere (buoni) programmi di computer è la capacità di gestire le astrazioni con precisione. Di fatto, è qualcosa che noi esseri umani facciamo perfettamente da più di tremila anni. Si chiama matematica». Per cui, nel formare softwaristi «l’impostazione migliore è cercare gli esercizi mentali più impegnativi che obbligano il cervello a gestire entità astratte - puramente astratte - che risultano le più difficili da gestire per il cervello. Dove si può trovare un simile terreno di addestramento? Nella matematica». E, nella stessa pubblicazione, Peter Henderson sostiene: «Quale impresa umana si è sviluppata per gestire l’astrazione? La matematica». Ma quale può essere la ricetta per dare alla matematica una parvenza di essere «alla moda»? Se dò ai miei alunni equazioni differenziali usando il metodo Runge-Kutta, mi domandano immediatamente: «Perché dovrei trovare la soluzione? È noioso. Ma che rappresenta?». Invece se gli si dò una traiettoria elaborata al computer o, meglio ancora, un’animazione di un cane che aggredisce una persona che fa jogging, il problema rimane essenzialmente lo stesso ma viene percepito come una sfida interessante. E qui vorrei fare una dichiarazione a favore della computazione scientifica. Analizziamo il problema del cane e del corridore: è alquanto matematico. Abbiamo la posizione del cane dataci da due coordinate. Facciamo alcune ipotesi: il cane corre al massimo della sua velocità in modo costante, rappresentato dal valore W: e che fa il cane mentre corre verso il corridore? Ha il muso sempre rivolto verso il bersaglio, il che vuol dire che il vettore della velocità del cane segue la stessa direzione della distanza tra i due corpi. Tutto qui. Questo è un sistema di equazioni differenziali. Ovviamente non si può risolvere il problema esattamente così, ma lo si può fare con un buon programma. Se invece prendiamo un vecchio cane che va molto lento e un giovane corridore che è molto veloce, cosa succederà a questo tizio? Il cane sta per afferrarlo, morde l’aria proprio dietro ai suoi talloni ma non riesce ad acchiapparlo. Ciò che accadrà è che il cane continuerà a girare in tondo mentre il corridore continuerà a correre; il cane è troppo stupido per fermarsi ad aspettare al di fuori del cerchio e continua a corrergli appresso. Il problema del cane e del corridore non è lontano da quello del bambino e del giocattolo: c’è una sbarra e a un’estremità di questa sbarra c’è un giocattolo. Il bambino, il giocattolo e la sbarra: anche qui abbiamo un’equazione nella quale la lunghezza della sbarra è costante, il bambino cammina e la sua velocità sarà sempre nella direzione del giocattolo e l’entità della velocità dipenderà dalla proiezione della velocità del bambino lungo la linea retta. Se il bambino cammina lungo un rettangolo, il giocattolo rimane dov’è, con una proiezione uguale a zero. È dunque possibile programmare queste equazioni in un laboratorio di matematica. Oppure, la lunghezza della sbarra è uguale al raggio del cerchio per cui, se si lascia trascorrere un sufficiente lasso di tempo, il giocattolo finirà nel mezzo del cerchio. Si tratta sempre della stessa equazione, cambiano solo le condizioni iniziali. Una tipica applicazione della matematica riguarda i problemi di autovalori. Un esempio: nel 1940, il ponte Tacoma fu aperto e qualche giorno più tardi crollò a causa di un vento di 60 km orari che spingeva il ponte verso destra, finché l’oscillazione del ponte si amplificò. Visto che a quel tempo non si calcolavano gli autovalori, costruirono il ponte senza prendere in considerazione che il vento a 60 km orari avrebbe fatto oscillare il ponte a tal punto da farlo cadere. Noi possiamo simulare un’oscillazione approssimativa del ponte con una membrana in vibrazione e possiamo cercare di risolvere questa equazione differenziale in alcune condizioni limite: ora siamo in grado di fare queste computazioni. È difficile credere che nel 2000 gli inglesi abbiano costruito, dopo 170 anni dall’ultimo ponte, un nuovo ponte pedonale sul Tamigi, davanti alla New Tate Gallery of Modern Art, il Millennium Bridge, e che questo ponte dopo appena tre o quattro giorni sia stato chiuso: traballava troppo perché i pedoni ci camminassero sopra. Certo, i calcoli erano stati fatti ma nel modo sbagliato. Per concludere, Bertrand Russel ha detto: «Gli uomini nascono ignoranti, non stupidi. Vengono poi resi stupidi dall’educazione». «La matematica - sosteneva Gauss - è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica». E Leonardo da Vinci: «Nessuna humana investigazione si può dimandare vera scienzia s’essa non passa per le matematiche dimonstrazioni». Secondo l’Accademia delle Scienze americana, «l’alta tecnologia è essenzialmente una mate-tecnologia». E Archimede: «Vi sono cose che appaiono incredibili a persone che non hanno studiato la matematica».

(Traduzione dall’inglese di Valeria Beltrani)